การเปลี่ยนแปลงหลัก: จากผลรวมสู่อินทิกรัล
ตัวแปรสุ่ม $X$ จะเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ $f$ ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของ $X$ โดยที่สำหรับเซตของจำนวนจริงใด ๆ $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
โดยสำคัญคือ สิ่งนี้หมายความว่า สำหรับค่าเฉพาะใด ๆ $a$ เราจะได้ว่า $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$ ในโลกของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เราพูดถึงความน่าจะเป็นเฉพาะในช่วงเท่านั้น
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) $F(x)$ ทำหน้าที่เป็นตัวเก็บความน่าจะเป็นตั้งแต่ลบอนันต์ถึง $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลาง
- ค่าคาดหมาย: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- มัธยฐาน ($m$): จุดที่แบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน โดยที่ $F(m) = \frac{1}{2}$
- โหมด: ค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ มีค่ามากที่สุด
ข้อจำกัดของการรวมผล
เพื่อเข้าใจความสำคัญของ "อินทิกรัล" ในเส้นทางของเรา ลองเปรียบเทียบโลกแบบไม่ต่อเนื่อง—ที่เราอาจพบกับ ทฤษฎีบทเลเจนดร์ ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) หรือตรรกะซับซ้อนสำหรับตัวหาร (เมื่อ $D=k$ แล้ว $k$ ต้องหารทั้ง $X$ และ $Y$ ลงตัว และ $X/k, Y/k$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน)—กับโลกแบบต่อเนื่อง ที่นี่ เราคำนวณความแปรปรวนเป็น $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ และค่าคาดหมายของฟังก์ชันผ่าน $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$